浪人ニッキ46.5

昨日の問題の解答です。

ann(n+1)=(1+1/n)(1+2/n)2(1+3/n)3・…・(1+n/n)n

両辺自然対数を底とする対数をとって、

n(n+1)logan=log(1+1/n)+2log(1+2/n)+3log(1+3/n)+…+nlog(1+n/n)

⇔logan=1/n(n+1)Σ[k=1,n]klog(1+k/n)

       =n/(n+1)・1/nΣ[k=1,n](k/n)log(1+k/n)

n→∞として、(右辺)→1・∫[0,1]xlog(1+x)dx

                   =[(x2/2)log(1+x)][0,1]-∫[0,1]x2/2(1+x)dx

                   =log2/2-1/2∫[0,1]{(1+x)2-2(1+x)+1}/(1+x)dx

                   =log2/2-1/2∫[0,1][x-1+{1/(1+x)}]dx

                   =log2/2-1/2[x2/2-x+log(1+x)][0,1]

                   =1/4

∴lim[n→∞]logan=1/4

∴lim[n→∞]an=e1/4

※問題集の解答では
　x²/(1+x)=(x²-1)/(1+x)+1/(1+x)=x-1+1/(x+1)
　となっていましたが、上の変形の方が応用が利くと思います。

どうでしたか？解けましたか？
対数をとって積を和に直したり、区分求積を使ったり、式をうまく変形したりと、
実にいろいろな要素が組み合わさった良い問題だと思います。
(言いようによっては、「式変形するだけの下らない問題」ですが)
できなかった方はぼくと同様、もう一頑張りです。
ちなみにいまぼくが使っている数学の問題集は、駿台文庫の『医学部への数学』です。
なかなか使いづらい点もあるのですが、問題は良問ばかりで力が付きます。

それではまた。

お医者さんになろう医学部への数学 (駿台受験シリーズ)